私が後見人になりたいと思いますが、そのようにしていただくことはできますか？

できます。ただ、最終的には裁判所の判断となります。
たとえば、親御さんについて後見手続をとるときに、「子の○○氏を後見人にしてほしい」との要望を出すことができます。
その場合、裁判所は、他のご兄弟にも、それでよいか確認して、問題がなければその方を後見人にします。

ただ、最近、後見人になった親族が、お金を自分のために流用してしまう、という事故もあるため、裁判所から、「財産を全て信託銀行に預けるように」などの指示をされる場合もあります。